临界值

临界值是指物体从一种物理状态转变到另外一种物理状态时，某一物理量所要满足的条件，相当于数学中常说的驻点．因此利用临界状态求解物理量的最大值与最小值，就成了物理中求解最值的一种重要的方法．但笔者认为利用临界状态求解最值应谨慎，首先须分清两状态之间的关系．
??1．两状态同时存在且最值在临界点取得
??例1　如图1所示，质量为m的小球以初速度v０从A点开始沿光滑圆形轨道槽上滑，求小球能通过最高点B做圆周运动的最小初速度v０．

图1

??分析　由于轨道槽光滑，整个过程系统机械能守恒.小球在A点的总能为
??　　Ｅｋ＝（1／2）mv０２，
??在B点的总能量为
??　　Ｅ＝（1／2）mv０２+2mgR,
则　　（1／2）mv０２=（1／2）mvＢ２+2mgR，　　　　　　①
??显然在①式中要使v０最小，则要求vＢ最小，因此求v０的最小值便转化为求vＢ的最小值．但仅根据①式我们还不能确定vＢ的最小值．要确定vＢ的最小值还要考虑题中所提供的条件：小球能通过B点做圆周运动而不下落与下落之间存在着临界速度，即vＢ必须大于或等于这个临界速度，小球才不会下落.因此临界速度就是小球经过B点而不下落的最小速度，从而把求解小球初速度的最小值转化为求小球沿竖直圆形轨道做圆周运动的临界速度．
??解　小球做圆周运动达到最高点B时的受力情况是：受重力mg和轨道对其的压力N作用，两者的合力为小球提供做圆周运动的向心力，即
??　　Ｆ心＝mg+N，
所以　　（mvＢ２／Ｒ）=mg+N,

②

把②式代入①式可得

??结论　对于这类最值问题，由于最值在临界点取得，我们可以利用临界值与最值两者之间的关系，根据物体在某一变化过程中在临界点所遵循的物理规律找出其临界值，从而求出最值．这对用其他一些方法求解时显得复杂或根本求不出最值的问题，不能说不是一条捷径．
??2．两状态同时存在，但最值不在临界点取得
??例2　如图2所示，一质量为10kg的物体，受到一水平向左的恒力F=10N作用，而从A点开始以初速度v０=10m/s向右沿光滑水平面滑动，求在8s钟内物体的最大位移（以向右为正）．
图2

??分析　显然该题中速度存在着一个临界点，即v=0的点．根据公式vt２-v０２=2as可得s临=50m．但应注意到v=0所需要的时间是10s，当时间小于10s时，位移s为增函数，即
??　　smax=10×8-（1／2）×1×8２=48m，
所以　　s临≠smax．
??结论　对于这类最值问题，由于最值不在临界点取得，不能把临界值当成最值，但可以根据题中条件借助于临界值确定出最值.
??3．存在临界点不存在最值，但变化量无限趋向临界值
??例3　如图3所示，位于水平面的两条平行导轨，间距为L，电源电动势为Ｅ，所有电阻为R，金属棒ab质量为m，它与导轨间的摩擦因数为μ．整个回路处在磁感强度为B的均匀磁场中．当开关S闭合后，ab棒由静止开始向右滑动．问ab棒的速度是否能达到最大值?如能达到，求出其最大值.

图3

??分析　这是一道非常经典的电磁学与力学的综合题，一般的解法都这样认为：由于ab棒开始是做加速度逐渐减小的运动，因此认为当加速度变为0时速度达到最大，即速度在其临界点达到最大值，从而利用下式求出速度的最大值.
??　　mgμ=BIL,
??　　mgμ=BL（E-BLv／R）,
??　　vmax=（E／BL）-（mgμＲ／Ｂ２Ｌ２）．
??下面，我们再根据棒ab在整个变化过程中所遵循的物理规律，用数学方法求出棒ab的速度随时间变化的表达式，然后再讨论其最值，由于是变力，因此我们必须列出其遵循的微分方程，即
??　　a=（dv／dt）=（BLI-f／m）,　　　　　　③
??　　I=（E′／Ｒ）=（E-BLv／R）,　　　　　　④
把④代入③可得
??　　（dv／dt）+（B２L２／mR）v=（BL／mR）-gμ，　　　　　　⑤
⑤式是一阶线性微分方程，其通解为

⑥

当t=0时，v=0，代入⑥式可得
??　　C=-（BLE-gμmR）／（B２L２），
所以　　

??讨论　显然v是单调递增函数，无限趋向于其临界值：（E／ＢＬ）－（mgμＲ／Ｂ２Ｌ２），所以没有最大值．只有t→∞时，v才能取极限值（临界值），也就是常说的收尾速度．
??结论　诸如此类的题目例子很多，如电容器充放电时电容器上的电压，雨点受到阻力为f=-kv的速度等，笔者曾研究过它们的运动规律都有一个共同特点：即所求变化的物理量都是联锁反馈性变化且遵循一阶线性微分方程．由于存在临界点且容易确定，往往会错误的把它当成最值，而实际上并不存在最值，只能在近似的情况下认为其存在最值且等于其临界值．
??综上所述，笔者认为临界点是由物理规律所决定的一种状态，它可以由满足该状态的物理规律来确定，是客观存在的．而最值的求解，严格地讲，应是在一定条件和物理规律支配下的一个变化过程，此过程能不能实现，最值是否在临界点取得，要综合分析其所满足的条件和所遵循的物理规律，把握好物理量的变化特征，同时还要遵循一定的数学原理．在某些情况下（如例1），临界值和最值相当，我们可以通过临界点求最值，从而获得事半功倍的效果．而在另外一些情况下（如例2和例3），最值与临界值之间没有必然联系．因此，在最值的求解过程中，我们只能把寻找临界点作为求最值的一种方法，而不能把它与最值的求解同等起来．