微分

[Mathematics] differential; differentiation

微分是微积分学中除了导数之外的另一个基本概念。都是经济应用数学中的基础内容。

微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的，在微小局部可以用直线去近似替代曲线，它的直接应用就是函数的线性化。微分具有双重意义：它表示一个微小的量，同时又表示一种与求导密切相关的运算。微分是微分学转向积分学的一个关键概念。

微分的思想就是一个线性近似的观念，利用几何的语言就是在函数曲线的局部，用直线代替曲线，而线性函数总是比较容易进行数值计算的，因此就可以把线性函数的数值计算结果作为本来函数的数值近似值，这就是运用微分方法进行近似计算的基本思想。

设函数在某区间内有定义，x0及x0+△x在这区间内，若函数的增量可表示为

，其中A是不 依赖于△x的常数，是△x的高阶无穷小，则称函数在点x0可微的。叫做函数在点x0相应于自变量增量△x的微分，记作dy，即：dy＝。微分dy是自变量改变量△x的线性函数，dy与△y的差是关于△x的高阶无穷小量，我们把dy称作△y的线性主部。得出： 当△x→0时，△y≈dy。 导数的记号为：还可以表示两个微分的比值(把△x看成dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分)，还可表示为：
得出：若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。

设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

则复合函数的微分为：

，由于，因此我们可以把复合函数的微分写成。不论u是自变量还是中间变量，的微分dy总可以用与du的乘积来表示，这一性质称为微分形式不变性。