协方差

协方差分析是建立在方差分析和回归分析基础之上的一种统计分析方法。 ADSFAEQWER353423413434

方差分析是从质量因子的角度探讨因素不同水平对实验指标影响的差异。一般说来，质量因子是可以人为控制的。 ADFASDFAF23RQ23R

回归分析是从数量因子的角度出发，通过建立回归方程来研究实验指标与一个(或几个)因子之间的数量关系。但大多数情况下，数量因子是不可以人为加以控制的。 ADSFAEQWER353423413434

两个不同参数之间的方差就是协方差。 ADSFAEQWER353423413434

若两个随机变量X和Y相互独立，则E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=0，因而若上述数学期望不为零，则X和Y必不是相互独立的，亦即它们之间存在着一定的关系。 ADSFAEQWER353423413434

E[(X-E(X))(Y-E(Y))]称为随机变量X和Y的协方差，记作COV(X,Y)，即COV(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]。 ADFASDFAF23RQ23R

协方差与方差之间有如下关系： ADSFAEQWER353423413434

• D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2COV(X,Y)
• D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2COV(X,Y)

因此，COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)。 ADSFAEQWER353423413434

• （1）COV(X,Y)=COV(Y,X)；
• （2）COV(aX,bY)=abCOV(X,Y)，（a,b是常数）；
• （3）COV(X1+X2,Y)=COV(X1,Y)+COV(X2,Y)。

由协方差定义，可以看出COV(X,X)=D(X)，COV(Y,Y)=D(Y)。 ADFASDFAF23RQ23R

协方差作为描述X和Y相关程度的量，在同一物理量纲之下有一定的作用，但同样的两个量采用不同的量纲使它们的协方差在数值上表现出很大的差异。为此引入如下概念：

ρXY=COV(X,Y)/√D(X)√D(Y)，称为随机变量X和Y的相关系数。 ADFASDFAF23RQ23R

若ρXY=0，则称X与Y不相关。即ρXY=0的充分必要条件是COV(X,Y)=0，亦即不相关和协方差为零是等价的。 ADFASDFAF23RQ23R

设ρXY是随机变量X和Y的相关系数，则有

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• （1）∣ρXY∣≤1；
• （2）∣ρXY∣=1充分必要条件为P{Y=aX+b}=1，（a,b为常数，a≠0）

设X和Y是随机变量，若E(X^k)，k=1,2,...存在，则称它为X的k阶原点矩，简称k阶矩。若E{[X-E(X)]^k}，k=1,2,...存在，则称它为X的k阶中心矩。若E(X^kY^l)，k,l=1,2,...存在，则称它为X和Y的k+l阶混合原点矩。若E{[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l}，k,l=1,2,...存在，则称它为X和Y的k+l阶混合中心矩。 ADSFAEQWER353423413434

显然，X的数学期望E(X)是X的一阶原点矩，方差D(X)是X的二阶中心矩，协方差COV(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩。 ADFASDFAF23RQ23R

农业科学实验中，经常会出现可以控制的质量因子和不可以控制的数量因子同时影响实验结果的情况，这时就需要采用协方差分析的统计处理方法，将质量因子与数量因子(也称协变量)综合起来加以考虑。

比如，要研究3种肥料对苹果产量的实际效应，而各棵苹果树头年的“基础产量”不一致，但对试验结果又有一定的影响。要消除这一因素带来的影响，就需将各棵苹果树第1年年产量这一因素作为协变量进行协方差分析，才能得到正确的实验结果。 ADFASDFAF23RQ23R

当两个变量相关时，用于评估它们因相关而产生的对应变量的影响。
当多个变量独立时，用方差来评估这种影响的差异。
当多个变量相关时，用协方差来评估这种影响的差异。 ADSFAEQWER353423413434

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• George Casella, Roger L. Berger. Statistical Inference[M]. Duxbury Press, 2002.