微分

微分一词源自拉丁语 differentialis，意为“差异”。在数学中，微分是微积分（calculus）的核心概念之一，与导数（derivative）紧密关联。微分的直观思想是：在函数曲线的局部，用直线（切线）代替曲线，从而将复杂非线性问题进行线性化处理。

定义：设函数 y = f(x) 在区间上有定义，x₀ 和 x₀ + Δx 在区间内。若函数的增量 Δy = f(x₀ + Δx) - f(x₀) 可表示为 Δy = A Δx + o(Δx)，其中 A 是不依赖于 Δx 的常数，o(Δx) 是 Δx 的高阶无穷小，则称函数在点 x₀ 可微，A Δx 称为函数在点 x₀ 相应于自变量增量 Δx 的微分，记作 dy = A Δx。易见，A 即为函数在 x₀ 的导数值 f'(x₀)。因此，dy = f'(x₀) dx，其中 dx = Δx 为自变量的微分。

在几何上，函数 y = f(x) 的图像是一条曲线。在点 M(x₀, y₀) 处，曲线的切线是直线。当自变量改变 Δx 时，曲线上的纵坐标增量为 Δy，而切线上纵坐标增量为 dy = f'(x₀) Δx。当 |Δx| 很小时，|Δy - dy| 远小于 |Δy|，即 dy 是 Δy 的线性主部。因此，在点 M 附近，可用切线段近似代替曲线段，这是微分近似计算的基础。

微分的运算遵循线性法则和乘积法则、商法则等，与导数运算类似。设 u = u(x)，v = v(x) 可微，则：

• d(cu) = c du（c 为常数）
• d(u ± v) = du ± dv
• d(uv) = v du + u dv
• d(u/v) = (v du - u dv) / v²（v ≠ 0）

设 y = f(u)，而 u = g(x)，则复合函数 y = f(g(x)) 的微分为 dy = f'(u) du。由于 du = g'(x) dx，所以 dy = f'(u) g'(x) dx。但无论 u 是自变量还是中间变量，微分形式 dy = f'(u) du 都成立，称为一阶微分形式不变性。这使得复合函数的微分计算无需显式写出中间变量。

近似计算

利用 dy ≈ Δy，有 f(x₀ + Δx) ≈ f(x₀) + f'(x₀)Δx。例如，计算 sin 31° 的近似值：取 f(x) = sin x，x₀ = 30° = π/6，Δx = 1° = π/180，f'(x)=cos x，则 sin 31° ≈ sin 30° + cos 30°·π/180 ≈ 0.5 + 0.8660×0.01745 ≈ 0.5151.

误差估计

若测量某量 x 时产生误差 Δx，则函数值 f(x) 的误差 Δy 可用微分近似：|Δy| ≈ |f'(x)| |Δx|。例如，测量圆半径时，面积误差可用微分估计。

经济边际分析

在经济学中，边际成本、边际收益等概念用微分描述。若总成本 C(x) 为产量 x 的函数，则边际成本 dC = C'(x) dx 表示增加一个单位产量时成本的近似增加量。

• 同济大学数学系. 高等数学（第七版）上册. 高等教育出版社, 2014.
• 华东师范大学数学系. 数学分析（第四版）上册. 高等教育出版社, 2010.
• Stewart, J. Calculus: Early Transcendentals (8th Edition). Cengage Learning, 2015.
• Rudin, W. Principles of Mathematical Analysis (3rd Edition). McGraw-Hill, 1976.