微商

微商（导数）与函数是微积分的核心概念，描述函数在某点的瞬时变化率。以下从定义、计算到应用全面解析：

📌 一、微商（导数）的定义

设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的邻域内有定义：

1. 极限定义：

   $$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

   • 几何意义：曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 的切线斜率。

   • 物理意义：瞬时速度（位移-时间函数的导数）。

2. 微分形式：

   $$dy = f'(x) \, dx$$

   • $dy$ 是函数增量 $\Delta y$ 的线性主部（微分）。

   • $\frac{dy}{dx}$ 即导数（微商），表示变化率。

📊 二、基本求导法则

复合函数求导（链式法则）：

• 示例：$y = \sin(2x)$ → $\frac{dy}{dx} = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$

🔍 三、导数的应用

1. 函数性态分析

2. 极值与最值

• 极值必要条件：若 $f(x)$ 在 $x_0$ 可导且取极值，则 $f'(x_0) = 0$。

• 二阶导数判别：

  • $f''(x_0) > 0$ → 极小值

  • $f''(x_0) < 0$ → 极大值

3. 凹凸性与拐点

• 凹凸性：

  • $f''(x) > 0$：凹函数（开口向上）

  • $f''(x) < 0$：凸函数（开口向下）

• 拐点：曲线凹凸性改变的点（$f''(x) = 0$ 且变号）。

📈 四、高阶导数

函数导数的导数称为高阶导数：

• 二阶导数：加速度（速度函数的导数）

  $$f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{dy}{dx} \right) = \frac{d^2 y}{dx^2}$$

• n阶导数：

  $$f^{(n)}(x) = \frac{d^n y}{dx^n}$$

  • 示例：$(e^x)^{(n)} = e^x$，$(\sin x)^{(4)} = \sin x$.

⚠️ 五、不可导的常见情形

💡 六、微商在科学与工程中的应用

1. 运动学：

   • 速度 $v(t) = \frac{ds}{dt}$，加速度 $a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2 s}{dt^2}$.

2. 经济学：

   • 边际成本：成本函数 $C(x)$ 的导数 $C'(x)$（产量增加1单位时的成本变化）。

3. 优化问题：

   • 最小化材料（如圆柱罐表面积 $S = 2\pi r h + 2\pi r^2$，约束 $V = \pi r^2 h$）→ 导数求极值。

4. 微分方程：

   • 牛顿冷却定律： $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{env}})$.

📚 七、常见函数导数表

💎 总结

1. 微商本质：函数变化率的极限（$\frac{dy}{dx}$ 是“无穷小增量之比”）。

2. 核心价值：

   • 动态描述：从静态函数中提取变化信息；

   • 优化工具：寻找极值点（经济、工程优化）；

   • 建模基础：微分方程刻画自然规律。

3. 学习重点：

   • 掌握求导法则（尤其链式法则）；

   • 理解导数与函数性态的关系（单调、极值、凹凸）；

   • 识别不可导点（避免计算错误）。

⚠️ 注意：导数仅反映局部性质，全局分析需结合积分与函数整体行为！