二项分布

二项分布（Binomial Distribution）是一种离散概率分布，描述了在固定次数的独立试验中，每次试验有相同的成功概率时，成功次数的分布情况。它在统计学和概率论中广泛应用，特别是在质量控制和生物统计学领域。以下是关于二项分布的详细信息：

1. 定义 二项分布描述的是n次独立重复试验中成功次数的分布情况。每次试验只有两个可能的结果：成功（Success）和失败（Failure），成功的概率为p，失败的概率为q = 1 - p。随机变量X表示n次试验中成功的次数。

2. 概率质量函数（PMF） 二项分布的概率质量函数表示为：

   $$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$
   

   其中，$\binom{n}{k}$是二项系数，表示从n次试验中选取k次成功的组合数，计算公式为：

   $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

   $P(X = k)$表示在n次试验中恰好有k次成功的概率。

3. 期望和方差 二项分布的期望（均值）和方差分别为：

   $$\mu = E(X) = np$$
   $$\sigma^2 = \text{Var}(X) = np(1-p)$$
   

   其中，$\mu$是期望值，$\sigma^2$是方差。

4. 性质

   • 离散性：二项分布是离散概率分布，X只能取0到n之间的整数值。
   • 对称性：当p = 0.5时，二项分布是对称的；当p ≠ 0.5时，分布是偏态的，p < 0.5时左偏，p > 0.5时右偏。
   • 独立性：各次试验之间相互独立。

5. 例子

   • 抛硬币：假设抛10次硬币，正面朝上的概率是0.5，X表示正面朝上的次数，X服从参数为n=10和p=0.5的二项分布。
   • 质量控制：假设生产线上生产的每个零件有0.01的概率是次品，从生产线上随机抽取100个零件，X表示次品的个数，X服从参数为n=100和p=0.01的二项分布。

6. 正态近似 当n较大且p接近0.5时，二项分布可以用正态分布近似。根据中心极限定理，当n充分大时，随机变量X服从参数为np和np(1-p)的正态分布，即：

   $$X \sim N(np, \sqrt{np(1-p)})$$
   

7. 应用

   • 统计检验：二项检验用于检验样本数据是否符合给定的成功概率。
   • 质量控制：用于估计生产过程中不合格品的比例。
   • 生物统计：用于分析基因型频率和遗传概率。

参考文献：

1. Ross, S. M. (2014). Introduction to Probability and Statistics for Engineers and Scientists (5th ed.). Academic Press.
2. Rice, J. A. (2006). Mathematical Statistics and Data Analysis (3rd ed.). Duxbury Press.
3. DeGroot, M. H., & Schervish, M. J. (2012). Probability and Statistics (4th ed.). Pearson.
4. Casella, G., & Berger, R. L. (2002). Statistical Inference (2nd ed.). Duxbury.
5. Larsen, R. J., & Marx, M. L. (2012). An Introduction to Mathematical Statistics and Its Applications (5th ed.). Pearson.