均方

均方（Mean Square, MS） 是统计学与工程学中量化变异或能量强度的核心指标，本质为 离差平方和的平均值（通过自由度校正）。其应用贯穿假设检验、回归分析、信号处理等领域，以下是系统解析：

一、核心公式与概念

1. 基础定义

• SS（离差平方和）：数据偏离均值的总变异量，$SS = \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2$

• df（自由度）：独立信息数量，如样本方差中 $df = n-1$（均值估计消耗1个自由度）

2. 与关联指标的关系

二、核心应用场景

1. 方差分析 (ANOVA)

• 组间均方（$MS_B$）：

  $$MS_B = \frac{SS_B}{k-1} \quad (k=\text{组数})$$

  反映处理效应导致的变异

• 组内均方（$MS_W$）：

  $$MS_W = \frac{SS_W}{N-k} \quad (N=\text{总样本量})$$

  代表随机误差

• F检验：

  $$F = \frac{MS_B}{MS_W} \quad (\text{若} F > F_{\text{临界}} \rightarrow \text{组间差异显著})$$

2. 回归分析

• 回归显著性检验：

  $$F = \frac{MS_R}{MS_E} \quad (\text{检验所有自变量联合显著性})$$

3. 信号处理

• 均方值 (Mean Square Value, MSV)：

  $$\text{MSV} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i^2 = \text{信号总能量}$$

• 物理意义：

  • 交流信号功率 = MSV（若均值为0）

  • 均方根 (RMS) = $\sqrt{\text{MSV}}$ → 信号有效幅值（如家用电压220V为RMS值）

三、计算实例

案例1：方差分析（比较3组数据）

• 总均值 $\bar{X} = 6.33$

• SS_B = $3 \times (5-6.33)^2 + 3 \times (4-6.33)^2 + 3 \times (10-6.33)^2 = 68.67$

• SS_W = $(3-5)^2 + (5-5)^2 + (7-5)^2 + \cdots + (12-10)^2 = 28$

• MS_B = $\frac{68.67}{3-1} = 34.33$

• MS_W = $\frac{28}{9-3} = 4.67$

• F值 = $\frac{34.33}{4.67} = 7.35$ > $F_{0.05}(2,6) = 5.14$