光子计数统计学

光子计数统计学是研究光信号以离散光子形式到达探测器时的统计分布规律及其物理意义的学科，广泛应用于量子光学、单分子荧光、激光物理及天文学等领域。其核心在于通过分析光子到达时间、计数分布及相关性，揭示光源的量子特性与光场动力学。

核心概念

1. 光子计数分布

   • 泊松分布：经典相干光源（如激光）的光子计数服从泊松分布，方差等于均值（${\sigma }^2=⟨n⟩$）。

   • 超泊松分布：热光源（如白炽灯）光子计数方差大于均值（${\sigma }^2>⟨n⟩$），表现为聚束效应（Bunching）。

   • 亚泊松分布：非经典光源（如单光子源）方差小于均值（${\sigma }^2<⟨n⟩$），体现反聚束效应（Anti-bunching）。

2. 二阶相关函数 $g^{(2)}(\tau )$

   • 定义：$g^{(2)}(\tau )=\frac{⟨I(t)I(t+\tau )⟩}{⟨I(t){⟩}^2}$，描述光子时间相关性。

   • 经典光源：$g^{(2)}(0)\ge 1$（热光 $g^{(2)}(0)=2$，相干光 $g^{(2)}(0)=1$）。

   • 量子光源：$g^{(2)}(0)<1$（单光子源 $g^{(2)}(0)=0$）。

数学模型

1. Mandel公式
   光子计数概率 $P(n)$ 在测量时间 $T$ 内为：

   $$P(n)=\frac{1}{n!}{\int }_0^T[\eta I(t){]}^n{e}^{-\eta I(t)}dt$$

   • $I(t)$：光强随时间变化函数；

   • $\eta$：探测器量子效率。

2. Hanbury Brown-Twiss（HBT）实验
   通过分束器与双探测器测量 $g^{(2)}(\tau )$，验证光子聚束效应。

实验技术

1. 时间相关单光子计数（TCSPC）

   • 记录光子到达时间的精确分布，用于荧光寿命成像（FLIM）或量子态层析。

   • 硬件：超快光电倍增管（PMT）或单光子雪崩二极管（SPAD）。

2. 光子数分辨探测

   • 使用超导纳米线单光子探测器（SNSPD）或过渡边缘传感器（TES）实现光子数分辨。

3. 关联测量

   • 强度干涉仪：测量 $g^{(2)}(\tau )$ 以区分光源类型（如量子点 vs 激光）。

应用领域

1. 量子光学

   • 单光子源认证：通过 $g^{(2)}(0)<0.5$ 验证非经典性（如金刚石氮空位中心）。

   • 量子密钥分发（QKD）：统计攻击者窃听引入的光子数异常。

2. 生物光子学

   • 荧光相关光谱（FCS）：分析光子计数涨落获取分子扩散系数与浓度。

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