向量

向量是一种既有大小又有方向的量，又称为矢量。在线性代数中，向量是指n个实数组成的有序数组，称为n维向量。一般用α，β，γ等希腊字母表示，有时也用a，b，c等拉丁字母表示：α=（a1，a2，…，an）称为n维向量，其中ai称为向量α的第i个分量。 ADSFAEQWER353423413434

在数学中，通常用点表示位置，用射线表示方向。在平面内，从任一点出发的所有射线，可以分别用来表示平面内的各个方向。向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。向量也可用字母a、b、c等表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作|a|。长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。

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方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。向量a、b、c平行，记作a∥b∥c。0向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定，数学上规定0与任一向量平行。长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。向量a与b相等，记作a=b。零向量与零向量相等。任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。

在域F上的两个向量空间V与V'，如果存在一个双射φ：V→V'并且φ(aμ+bν)=aφ(μ)+bφ(ν)，a，b∈F，μ，ν∈V，这样V与V'便是同构。 ADFASDFAF23RQ23R

给两个向量空间V和W在同一个F域，设定由V到W的线性变换或线性映射。这些由V到W的映射都有共同点就是它们保持总和及标量商数。这个集合包含所有由V到W的线性映像，以L（V，W）来描述，也是一个F域里的向量空间。当V及W被确定后，线性映射可以用矩阵来表达。同构是一对一的线性映射。如果在V和W之间存在同构，我们称这两个空间为同构；它们根本上是相同的。一个在F域的向量空间加上线性映像就可以构成一个范畴，即阿贝尔范畴。 ADSFAEQWER353423413434

研究向量空间一般会涉及一些额外结构。额外结构如下： ADSFAEQWER353423413434

• 一个实数或复数向量空间加上长度概念，就是范数，称为赋范向量空间。
• 一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念，称为内积空间。
• 一个向量空间加上拓扑学符合运算的（加法及标量乘法是连续映射）称为拓扑向量空间。
• 一个向量空间加上双线性算子（定义为向量乘法）是个域代数。

一个向量空间V的一个非空子集合W在加法及标量乘法中表现密闭性，被称为V的线性子空间。给出一个向量集合B，那么包含它的最小子空间就称为它的扩张，记作span（B）。给出一个向量集合B，若它的扩张就是向量空间V，则称B为V的生成集。一个向量空间V最大的线性独立子集，称为这个空间的基。若V=0，唯一的基是空集。对非零向量空间V，基是V最小的生成集。如果一个向量空间V拥有一个元素个数有限的生成集，那么就称V是一个有限维空间。向量空间的所有基拥有相同基数，称为该空间的维度。例如，实数向量空间：R0，R1，R2，R3，…，R∞，…中，Rn的维度就是n。空间内的每个向量都有唯一的方法表达成基中元素的线性组合。把基中元素排列，向量便可以座标系统来呈现。

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通常可以用几何的或代数、坐标的方法来表示向量。 ADFASDFAF23RQ23R

向量的几何表示法

从空间中任意一点A出发引一半射线l，并在其上另取一点B，则有向线段AB就代表一向量（图1），简记为，或用α表示；这向量的大小就是线段AB的长，其方向就是半射线l的方向。向量α的大小称为它的模或绝对值。一般说来，如果向量的起点A换作另一点A'，终点也换作另一点B'，使AB∥A'B'，且它们的指向也相同，又长度相等，则认为向量与向量是相等或相同的向量，仍可记为α。这样理解的向量有时也称为自由向量（起点可自由改变）。当然根据实际情况，有时向量的起点不能随便改变（例如，如果向量α代表一个力，其起点A代表力的作用点，这时起点就不能随意改变），这种向量有时称为固端向量。这里一般只考虑自由向量。一种特殊情况须加注意，就是B=A的情况，这时向量称为零向量，记为0。零向量的模为0，且无确定方向。按照自由向量的观点，规定两向量α，b相等的充分必要条件是：|α|=|b|，且（如果它们不是零向量）α，b的方向（包括指向）相同。如果向量α，b（都≠0）所在直线平行或重合，则称α与b平行，记作α∥b。向量-α指的是其模与α的模相等、且与α平行但指向相反的向量。如果向量α，b所在直线互相垂直，则称α与b互相垂直或正交，记作α⊥b。此外还规定，任何向量α都与零向量0既平行又垂直。根据定义，任何向量α与它自身平行。如果向量α的模等于1（|α|=1），则称α为一单位向量。 ADFASDFAF23RQ23R

向量的代数表示法

向量的几何表示法既直观又简单。但作为一种数学量，向量要参加运算，这种表示法有时就极不方便。下面向量的代数表示法就可克服这一困难。在空间取定一右手坐标系（当然也可取左手坐标系，但为确定起见，不取左手系），如图2。已给一向量α。把它的起点取在坐标原点O处，其终点为P。把有向线段OP投影到三坐标轴x，y，z上，分别得投影OP1，OP2，OP3，它们的有向长x，y，z分别称为α在x轴、y轴、z轴上的三个分量，而把α表示为：

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向量坐标表示法

平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对（x，y）是一一对应的，因此把（x，y）叫做向量的坐标，记作=（x，y），其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。向量又称为矢量，最初被应用于物理学。很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量。大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到。“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段。最先使用有向线段表示向量的是英国科学家牛顿。调查表明，一般日常生活中使用的向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向。但是在高等数学中还有更广泛的向量。例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量。在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的。这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象。这样，就可以将线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了。因此，向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用。而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型。

向量的数乘

给定向量v和标量k，向量的数乘定义为：w = k v。其中，w是新向量。向量v的分量为(vx, vy)时，数乘kv的分量为：w = (k vx, k vy)。对于三维向量v = (vx, vy, vz)，数乘kv的分量为：w = (k vx, k vy, k vz)。向量数乘的几何意义是改变向量的长度而不改变其方向。标量k可以是正数、负数或零：

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• 当k>0时，向量的方向与原向量相同，长度是原向量长度的k倍。
• 当k<0时，向量的方向与原向量相反，长度是原向量长度的|k|倍。
• 当k=0时，结果是零向量，长度为零。

向量的加法

向量a和b的和c表示为：c = a + b。其中，c是新向量。向量的加法可以通过逐分量相加来进行。如果向量a和b的分量分别为：a = (ax, ay)和b = (bx, by)，则它们的和c为：c = (ax + bx, ay + by)。对于三维向量a和b：a = (ax, ay, az)和b = (bx, by, bz)，它们的和c为：c = (ax + bx, ay + by, az + bz)。

向量的减法

与通常算术中一样，把向量的减法作为加法的逆运算来定义。即已给二向量α，b，定义α-b=c为一向量，使得b+c=α。向量的减法可以通过逐分量相减来进行。如果向量a和b的分量分别为：a = (ax, ay)和b = (bx, by)，则它们的差c为：c = (ax - bx, ay - by)。对于三维向量a和b：a = (ax, ay, az)和b = (bx, by, bz)，它们的差c为：c = (ax - bx, ay - by, az - bz)。总之，对于向量的加减法和数乘来说，可以如同数字的算术运算那样进行。

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向量的内积

给定两个n维向量a和b，它们的内积定义为：a·b = a1b1 + a2b2 + … + anbn，其中a = (a1, a2, …, an)和b = (b1, b2, …, bn)。内积可以用来计算两个向量之间的夹角。设向量a和b的夹角为θ，则内积还可以表示为：a·b = |a||b| cosθ，其中|a|和|b|分别是向量a和b的模（长度），计算公式为：|a| = √(a1²+a2²+…+an²)，|b| = √(b1²+b2²+…+bn²)。 ADFASDFAF23RQ23R

向量的外积

给定两个三维向量a和b，它们的外积c表示为：c = a × b。其中，c是新向量，其方向垂直于a和b所在的平面，方向遵循右手定则，大小为：|c| = |a||b| sinθ，其中θ是向量a和b之间的夹角。向量a和b的分量分别为(ax, ay, az)和(bx, by, bz)，则它们的外积c可以表示为：c = a × b = |i j k; ax ay az; bx by bz|。计算行列式得：c = (ay bz - az by)i - (ax bz - az bx)j + (ax by - ay bx)k。

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向量的混合积

给定三个向量a, b和c，它们的混合积定义为：a·(b×c)。其中，b×c是向量b和c的外积，结果是一个向量；a·(b×c)是向量a和b×c的内积，结果是一个标量。若a = (ax, ay, az), b = (bx, by, bz)和c = (cx, cy, cz)，则它们的混合积可以表示为行列式的形式：a·(b×c) = |ax ay az; bx by bz; cx cy cz|。计算这个行列式可以得到混合积的值。混合积的性质：

• 交换性：混合积对于三个向量的循环排列是对称的，即a·(b×c)=b·(c×a)=c·(a×b)；但如果交换任意两个向量的位置，混合积的符号会改变，即a·(b×c)=-a·(c×b)。
• 共面性：如果混合积为零，则向量a, b和c共面，即它们在同一平面内。
• 线性性：混合积对每一个向量都是线性的。

向量的分解是将一个向量v分解成若干个向量v1, v2, …, vn，使得这些向量的和等于原向量：v = v1 + v2 + … + vn。

• 二维向量的分解：在二维平面上，向量v可以分解成沿x轴和y轴的分量。设向量v的分量为(vx, vy)，则：v = vx i + vy j，其中i和j分别是x轴和y轴的单位向量。
• 三维向量的分解：在三维空间中，向量v可以分解成沿x轴、y轴和z轴的分量。设向量v的分量为(vx, vy, vz)，则：v = vx i + vy j + vz k，其中i、j和k分别是x轴、y轴和z轴的单位向量。
• 斜向分解：向量v也可以沿任意两个非平行方向进行分解。设a和b是两个非平行向量，则向量v可以表示为v = λa + μb，其中λ和μ是标量。

从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。向量能够进入数学并得到发展的阶段是18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a+bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算，把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题。人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学。但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系。19世纪中期，英国数学家汉密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量。他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础。随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克斯韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析。三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪80年代各自独立完成的。他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数。他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积，并把向量代数推广到变向量的向量微积分。从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具。

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• 同济大学数学系. 线性代数（第六版）. 高等教育出版社, 2014.
• 张禾瑞, 郝鈵新. 高等代数（第五版）. 高等教育出版社, 2007.
• Strang, G. Introduction to Linear Algebra (5th ed.). Wellesley-Cambridge Press, 2016.
• Axler, S. Linear Algebra Done Right (3rd ed.). Springer, 2015.