卡方检验

1. 概述
卡方检验（Chi-square test）是一种非参数统计检验方法，用于检验观察频数与期望频数之间的差异是否显著。卡方检验通常应用于分类数据，旨在判断变量之间是否存在独立性，或者观测数据是否符合某一预期分布。它是基于卡方分布的一个检验统计量。

2. 卡方检验的类型
卡方检验主要有两种类型：

• 卡方适配度检验（Chi-square goodness-of-fit test）：用于检验单一变量的观测数据是否与某一特定分布（如均匀分布或正态分布）相符合。
• 卡方独立性检验（Chi-square test of independence）：用于检验两个或多个分类变量之间是否存在独立关系。它可以用于判断两个变量之间是否有统计学上的关联。

3. 卡方检验的原理
卡方检验的基本思想是计算每个类别的实际观测频数与期望频数之间的差异，差异越大，卡方统计量越大，从而有可能拒绝零假设。卡方统计量的计算公式为：

$$\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$$

其中：

• $O_i$ 是第$i$类的观察频数（实际数据）。
• $E_i$ 是第$i$类的期望频数（假设下的预期数据）。
• $\chi^2$ 是卡方统计量。

4. 卡方适配度检验
卡方适配度检验用于检验样本数据是否符合某一已知的分布。例如，假设我们想知道某个投骰子的实验是否公平，期望每个面出现的频率应当是相等的。卡方适配度检验的零假设为：数据符合预期的分布，而备择假设则为数据不符合预期的分布。

计算步骤：

• 首先确定每个类别的期望频数 $E_i$，通常依据样本容量和预期分布计算得出。
• 然后计算卡方统计量 $\chi^2$。
• 根据自由度和显著性水平，查找卡方分布表得到临界值，比较计算的卡方统计量和临界值，以判断是否拒绝零假设。

5. 卡方独立性检验
卡方独立性检验用于判断两个分类变量是否独立。假设有两个变量A和B，我们希望检验A和B之间是否有统计学上的显著关系。零假设为：A和B之间相互独立，备择假设为：A和B之间存在依赖关系。

计算步骤：

• 计算每个组合的期望频数 $E_{ij}$，其计算公式为：

$$E_{ij} = \frac{(R_i \times C_j)}{N}$$

其中：

• $R_i$ 是第$i$行的总和（行总数）。

• $C_j$ 是第$j$列的总和（列总数）。

• $N$ 是样本总数。

• 然后计算卡方统计量 $\chi^2$，公式与适配度检验相同：

$$\chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}$$

其中：

• $O_{ij}$ 是观测频数。

• $E_{ij}$ 是期望频数。

• 根据自由度和显著性水平，查找卡方分布表得到临界值，比较卡方统计量与临界值，以判断是否拒绝零假设。

6. 卡方检验的假设
卡方检验的基本假设包括：

• 零假设$H_0$：观察数据与期望数据之间没有显著差异，或者两个分类变量之间是独立的。
• 备择假设$H_1$：观察数据与期望数据之间存在显著差异，或者两个分类变量之间有依赖关系。

7. 卡方检验的应用场景

• 卡方适配度检验：

  • 判断投掷骰子是否公平。
  • 检验某种病症在不同年龄组中的分布是否符合预期。
  • 判断某个特定地区的基因型分布是否与预期一致。

• 卡方独立性检验：

  • 检验性别与是否吸烟之间的关系。
  • 检查教育水平与就业状态之间是否独立。
  • 检验地区和偏好饮食类型之间的关联。

8. 卡方检验的限制

• 样本容量要求：卡方检验要求每个期望频数不应太小（通常要求每个期望频数至少为5）。若期望频数过小，可能导致检验结果不准确。在这种情况下，可以使用Fisher精确检验代替卡方检验。
• 数据类型要求：卡方检验适用于分类数据，不适用于连续数据。
• 自由度问题：自由度的选择直接影响卡方检验的结果。在独立性检验中，自由度通常为： $$\text{自由度} = (r - 1) \times (c - 1)$$ 其中$r$是行数，$c$是列数。

9. 结论
卡方检验是一种强大的统计工具，广泛应用于社会科学、医学、市场研究等领域，用于分析分类数据。无论是适配度检验还是独立性检验，卡方检验都为判断数据是否符合预期分布或变量是否独立提供了有效的方法。研究者应注意样本量、期望频数的要求，并合理选择检验方法。

参考文献
（1）Fisher, R. A. (1925). Statistical Methods for Research Workers. Oliver and Boyd.
（2）Agresti, A. (2013). Categorical Data Analysis (3rd ed.). Wiley.
（3）Sokal, R. R., & Rohlf, F. J. (1995). Biometry: The Principles and Practice of Statistics in Biological Research (3rd ed.). W.H. Freeman.